Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln

Aufgabe: Bestimme die Kantenlänge eines Quadrats mit Flächeninhalt 2.

x sei die Kantenlänge des Quadrates. Es gilt

\[ x \cdot x = 2 \]
\[ x = \sqrt{2} \]

Näherungsweises Berechnen durch geschicktes Ausprobieren

Man kann für x eine Zahl raten. Bildet man das Quadrat x2 der Zahl x, ist x2 entweder kleiner, gleich oder größer als 2.

Geratene Zahl x x2 Es gilt …
1 \(1 \cdot 1 = 1 \) \(1 < \sqrt{2} \)
2 \(2 \cdot 2 = 4 \) \(\sqrt{2} < 2\)

Man weiß also bereits, dass \( \sqrt{2} \) zwischen 1 und 2 liegen muss. Man sagt 1 ist eine untere Schranke für \( \sqrt{2} \) und 2 ist eine obere Schranke für \( \sqrt{2} \). Man sagt auch \( \sqrt{2} \) liegt im Intervall von 1 bis 2; geschrieben [1; 2].

Durch weiteres Ausprobieren kann das Intervall weiter verkleinert werden:

Geratene Zahl x x2 Es gilt …
1,1 \(1,1 \cdot 1,1 = 1,21 \) \(1,1 < \sqrt{2} \)
1,2 \(1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \) \(1,2 < \sqrt{2} \)
1,3 \(1,3 \cdot 1,3 = 1,69 \) \(1,3 < \sqrt{2} \)
1,4 \(1,4 \cdot 1,4 = 1,96 \) \(1,4 < \sqrt{2} \)
1,5 \(1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \) \(\sqrt{2} < 1,5 \)

Man weiß nun: \( \sqrt{2} \) liegt im Intervall von 1,4 bis 1,5. Man schreibt auch \( \sqrt{2} \in [1,4;1,5]\)

Systematisches Ausprobieren mit OpenOffice Calc (oder Microsoft Excel)

Mit Hilfe einer Tabellenkalkulation, wie z.B. OpenOffice Calc oder Microsoft Excel, kann man sich bei der Berechnung unterstützen lassen.

Erstelle hierzu zunächst ein neues Tabellendokument in Calc und übertrage alle Informationen aus der folgenden Abbildung. Achtung: In den Feldern B3 und D3 befinden sich Formeln. Zum Eintrag einer Formel muss zunächst das Gleichheitszeichen eingeben werden. Am Ende muss die Formel durch Drücken der Return-Taste oder des grünen Häkchens übernommen werden. Nach dem Eintragen der Formel erscheint in der Tabelle nicht mehr die Formel sondern der berechnete Wert. Dies siehst du in der zweiten Abbildung.

Abb Calc 1
Abb Calc 2

Markiere nun die Zellen B3 bis B13

Abb Calc 3
Abb Calc 3

Und wähle im Menü Bearbeiten > Füllen > Unten. Verfahre ebenso mit den Zellen D3 bis D13.

Abb Calc 4
Abb Calc 4

Nutze nun Calc um das Intervall weiter zu verkleinern. In jeder weiteren Zeile soll eine weitere Dezimalstelle hinzukommen.

Bestimme so eine untere Schranke und eine obere Schranke mit jeweils zehn Dezimalstellen.